Lo primero que tenemos que saber son las llamadas Potencias de números.
Así: 2^3 = 2.2.2 = 8, 2^2 = 2.2 = 4, 2^4 = 2.2.2.2 = 16, 2^1 = 2, 2^0 =1
Ejemplo 1. Hallar algunas potencias de base 3
La base es el número que figura abajo, y el exponente es el que figura arriba
3^1 = 3, 3^2 = 3.3 = 9, 3^3 = 3.3.3 = 27, 3^4 = 3.3.3.3 = 81, 3^0 = 1
RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO
Raiz exacta Raiz(4) = n implica que n^2 = 4. Entonces n = 2
Raiz (4) = 2, pues 2.2 = 4
¿Podría ser Raiz (4) = - 2? (- 2).(- 2) = 4. Por tanto sí
Es decir Raiz (4) = +- 2
Ejemplo 2. Hallar: a) Raiz (9) b) Raiz (16) c) Raiz (1) d) Raiz (25) d) Raiz (0)
a) Raiz (9) = 3, pues 3.3 = 9 raiz (9) = - 3, pues (- 3).(- 3) = 9
b) Raiz (16) = +- 4 pues 4.4 = 16 y (- 4). (- 4) = 16
c) Raiz (1) = +- 1
d) Raiz (25) = +- 5
e) Raiz (0) = 0
Ejemplo 3. Hallar la Raiz (209764). Ver ilustración.
El algoritmo para calcular la raiz de un número, es el siguiente:
Se separan en cifras de dos, empezando por la izquierda. tenemos el 20. se busca un nº cuyo cuadrado sea 20 o lo más próximo. en este caso 4, pues 4x4 = 16. Lo subimos a la raiz. El 16 lo restamos del 20, y nos queda 4.
A continuación bajamos dos cifras, teniendo 497. Ponemos el doble del 4, que es 8, y buscamos un nº que añadido y multiplicado por el nos de 497, o lo más próximo, sin pasarse. En este caso es el 5, pues 85x5 = 425. Subimos el 5 a la raiz, y restamos 425 de 497, y nos queda 72.
Bajamos las otras dos cifras, y tenemos el 7264. ponemos a la derecha,el doble de 45, que es 90, y buscamos un nº que añadido y multiplicado por el nos de o se aproxime lo más a 7264. en este caso el 8, pues 908x8 = 7246. Subimos el 8 a la raiz. Restamos a la izquiera y nos queda cero. La raiz es exacta. Raiz (2309764) = 458
Raiz no exacta
Si nos piden la Raiz (2), no encontramos un número que al multiplicarlo por si mismo nos de dos. Tendremos que realizarlo mediante el algoritmo descrito, bajando dos cero, y poniendo la coma.
Veamos el algoritmo de la raiz. Raiz (2)
2 1 pues 1.1 = 1 1´ 41
- 1 Se resta y bajan dos ceros(parte decimal)
1 00 1x2 = 2 24.4 = 96 se multiplica el 1 por 2 y se busca un
- 96 nº que añadido al 2 y multiplicado por el se aproxime al 96.
4 00 14x2 =28 281.1 = 281
- 281
111 Resto
Raiz (2) = 1´41
Es decir, se empieza a buscar un número, que al multiplicarlo por si mismo se aproxime al 2.
Ya tenemos el 1. Se resta del dos, nos queda 1. Bajamos dos ceros, y ponemos la coma. A la derecha nos queda 100.
Se pone el doble del 1,que es 2. Se busca un nº que añadido al 2 y multiplicado por el nos salga 100 o lo más próximo. en este caso 4, pues 24x4 = 96. Subimos el 4 arriba, y restamos a la izquierad el 96 del 100, quedando 4. Y bajamos dos ceros. tenemos 400.
Se sigue el mismo proceso. Se pone el doble de 14, que es 28 y se busca un nº que añadido a 28 y multiplicado por e,l nos de 400, o lo más proóximo. En este caso 1, pues 281x1 = 281. Subimos el 1 a la raiz, y restamos 281 a 400, obteniendo 111, que será el resto. Podríamos continuar así, y obtener más cifras decimales.
Es decir Raiz (2) es aproximadamente igual a 1´41
La Raiz (2) es un número irracional, tiene infinitas cifras decimales, no periódicas. Si lo hacemos en un calculadora nos sale Raiz (2) = 1´414213562......
Ejemplo 4. Hallar Raiz (247) con dos cifras decimales. Ver ilustración.
Separamos dos cifras por la izquierda. Tomamos el 2, y buscamos un nº cuyo cuadrado sea el dos o lo más próximo. En este caso el 1; lo subimos arriba. A la izquierda lo restamos del dos, y bajamos dod cifras. Nos queda 147.
Bajamos a la derecha el doble de 1, que es 2; añadimos un número y multiplicamos por el, buscando lo más aproximado al 147; en este caso el 5, pues 25x5 = 125. Subimos el cinco arriba; a la izquierda restamos 125 de 147, quedando 22. Bajamos dos cifras, y tenemos 2200.
Ponemos a la izquierda el doble de 15, que e 30; y buscamos un nº que añadido y multiplicado por el, se aproxime a 2200. Es el 7, pues 307x7 = 2149. Lo restamos del 2200, y nos queda 51. Como ya no tenemos más cifras, se bajan dos ceros, y comienzan los decimales. Tenemos a la izquierda 5100.
Se baja a la derecha el doble de 157, que es 314, y se busca un nº que añadido y multiplicado por el, salga la mejor aproximación; es el 1, pues 3141x1 = 3141. Subimos el 1; restamos a la izquierda 3141 de 5100, quedando de resto 1959.
Por tanto Raiz (247) = 15´71 (con dos cifras decimales).
DIDÁCTICA
Este algoritmo de la raiz se explica en España en 2º de ESO, a los 13 años. Como vemos es un conjunto de muchas operaciones, y que en algunas hay que utilizar la calculadora. En cursos superiores se abandona este algoritmo, para hallar las raíces cuadradas con la calculadora. La poca utilización hace que se olvide, y prácticamente no se utiliza.
De hecho la mayoría de los Profesores de cursos de Bachillerato, ya no lo recuerdan. Y tampoco los Ciéntíficos, Ingenieros y Profesores universitarios.
En los países anglosajones, este algoritmo no se explica; los alumnos hacen las raíces directamente con la calculadora.
Nos preguntamos ¿vale la pena enseñarlo? Hay que tener también en cuenta que el aprendizaje de este algoritmo complejo, hace trabajar mentalmente a los alumnos. Como todo, habrá que buscar un balance, que lo dejo a discusión de los Profesores y autoridades pedagógicas.