Estudiado en el último artículo Adición con paréntesis, corchetes y llaves , hemos abarcado las herramientas suficiente para operar números naturales.
Los ejercicios que hemos resuelto hasta ahora son números precisados para obtener un resultado, sin embargo, también los hay aquellos en donde se ha de obtener el número que operado con los otros den el resultado indicado. Este es el terreno de las ecuaciones.
En este artículo estudiaremos las ecuaciones con números naturales, que son, sus partes, y la manera de resolverlas.
Ecuaciones
¿Qué son?
Una ecuación, como se podemos deducir del nombre, es una operación cuyo objeto está en lograr se constituya una igualdad. Concretamente, la definimos como aquella igualdad que tiene una o varios números desconocidos que llamamos incógnitas; también se suelen usar los nombres de variable o indeterminada.
Se puede identificar la incógnita por ser un símbolo: x,y,z, α, β...
¿Cuáles son sus partes?
Al ser la ecuación una igualdad entonces podemos hablar que consta de un primer miembro y un segundo miembro. El primer miembro son las operaciones a operar escritas al lado izquierdo de la igualdad y el segundo miembro son las que están en el derecho.
Se usa el nombre de expresión para cualquier escrito hecho en notación matemática; recordemos que como tal expresan un mensaje que nosotros concebimos a leerlo. Lo escrito en el primer miembro como en el segundo de la ecuación, son expresiones; así mismo la igualdad en sí.
A cada uno de los elementos expresados en el primer miembro como en el segundo, separados por los signos "+" o "-" los llamamos términos.
Identifiquemos cada uno de las partes en los siguientes casos:
- 3x+2y=8
-Primer miembro (lado izquierdo): 3x+2y
-Segundo miembro (lado derecho): 8
-Términos (se separan por "+" o "-"): 3x; 2y; y 8.
- 4x+3z=z-6
-Primer miembro (lado izquierdo): 4x+3z
-Segundo miembro (lado derecho): z-6
-Términos (se separan por "+" o "-"): 4x; 3z; z y -6.
¿Cómo las resuelvo?
Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la incógnita. Para lograrlo nos valemos de las propiedades de las igualdades:
- Si sumamos miembro a miembro dos igualdades obtenemos otra igualdad.
- Si restamos miembro a miembro dos igualdades obtenemos otra igualdad.
- Si multiplicamos miembro a miembro dos igualdades obtenemos otra igualdad.
- Si dividimos miembro a miembro dos igualdades obtenemos otra igualdad.
En efecto existen excepciones en cuanto a la división. Sin embargo, para profundizar podemos visualizar el artículo Igualdades: definición, partes y propiedades.
Continuando, vamos a ver cómo aplicar esto en los siguientes ejercicios:
- x+4=10
La idea es saber el valor de la incógnita, en este caso, simbolizada por x. Entonces, para saber su valor debemos saber a qué es igual la misma. Por consiguiente, hemos de restar 4 a ambos miembros de la ecuación para lograr dicha expresión:
x+4=10
-4=-4
___________
x+4-4=10-4
Efectuemos operaciones en la igualdad resultante:
x+4-4=10-4
x=6
Hemos hallado el valor de la incógnita, que es 6 como se lee en x=6. Notemos que 4-4=0 y 0 sumado con cualquier otro elemento es igual a dicho elemento.
- x-2=8
Seguimos el mismo razonamiento del ejercicio anterior. Solo que en este caso ay que sumar 2 a ambos miembros:
x-2=8
2=2
___________
x-2+2=8-2
Efectuemos operaciones:
x-2+2=8-2
x=6
Es de destacar que cuando dos o más ecuaciones tiene el mismo valor para su incógnita, las llamamos ecuaciones equivalentes.
- 2x+1=5
Empecemos restando a ambos miembros de la ecuación 1 para así dejar solo en el miembro al término que tiene la x:
2x+1=5
-1=-1
___________
2x+1-1=5-1
Efectuamos operaciones:
2x+1-1=5-1
2x=4
Observemos que se expresa a que es igual 2x. Sin embargo, nosotros necesitamos saber a qué es igual x. Entonces:
- Leemos la operación: 2x expresa que el 2 está multiplicando a la x.
- Observemos que, si un primer número multiplica a otro, al ser dividido el resultado por ese primer número, obtenemos como cociente ese otro. Entonces, si tenemos 2 que multiplica a x, dividimos por 2 a ambos miembros de la ecuación-recordemos que tiene que ser ambos según las propiedades-.
2x=4
2=2
___________
2x/2=4/2
x=2
Notemos que el razonamiento que hicimos para hallar la operación y el número para trabajar la multiplicación, puede servirnos para pensar en el caso de que fuera una división: si un primer número es dividido por otro, al ser multiplicado el resultado por ese otro, obtenemos como producto el primer número. Por ejemplo: 6/3=2, por consiguiente 2.3=6.
- 2x+x=15
Observamos que en el primer miembro está "2x" y "x", es decir, la misma incógnita, solo que en un caso está multiplicada por 2 y la otra por 1; se omite el 1 porque 1 multiplicado por cualquier número es igual a ese número. Entonces, procedemos a sumarlas:
2x+x=15
3x=15
Lo podemos ver así mientras tanto: Si tenemos 2 equis y le sumamos una equis, entonces obtenemos 3 equis. Para un ejemplo más familiar, sustituyamos la palabra equis por peras en la oración anterior y leamosla.
Ahora, leemos en 3x=15 a que es igual 3x. Sin embargo, necesitamos saber a qué es igual x. Por consiguiente, dividimos por 3 a ambos de la ecuación:
3x=15
3=3
___________
3x/3=15/3
x=5
- 4x+4+x=20+4
Observemos que tenemos un caso como en el ejemplo anterior en el primer miembro, solo que además de los términos que tienen la incógnita que son "4x" y "x", tenemos el 4. Este 4 no lo podemos sumar con los números que tienen la incógnita porque carece de ella.
Por tanto, sería:
4x+4+x=20+4
5x+4=24
Ahora, procedemos a restar 4 a ambos miembros de la ecuación para saber a qué es igual 5x:
5x+4=24
4=4
___________
5x+4-4=24-4
5x=20
Por último dividimos por 5 a ambos miembros de la ecuación:
5x=20
5=5
___________
5x/5=20/5
x=4
- x+(x+1) +3=14
Notemos que en este caso hay una operación dentro de un paréntesis. Como regla tenemos que hay efectuar lo de adentro del paréntesis tal como dijimos en Adición con paréntesis, corchetes y llaves, sin embargo, en este caso no podemos porque hay un número que no sabemos cuál es, la incógnita.
Ahora, podemos eliminar el paréntesis con signo "+" antecediéndole, respetando como esté escrita la operación adentro. Veamos si funciona:
Si tenemos 3+(2+5), primero resolvemos los paréntesis y obtengamos el resultado, 3+(2+5) =3+7=10. Ahora resolvamos eliminando los paréntesis, 3+(2+5) =3+2+5=10. En efecto, obtenemos los mismos resultados
Entonces, con el ejercicio quedaría:
x+(x+1) +3=14
x+x+1+3=14
2x+4=14
Restamos 4 a ambos miembros de la ecuación:
2x+4=14
4=4
___________
2x+4-4=14-4
2x=10
Consiguiente dividimos por 2 a ambos miembros:
2x=10
2=2
___________
2x/2=10/2
x=5
- 4x-(2x+2) +6=24
Nos topamos en este caso con un paréntesis que tiene un signo "-" antecediéndole. Eso hace que cada número dentro del paréntesis le cambie el signo, es decir, si es "+" pasa a "-" y si es "-" pasa a "+". Quedaría así:
4x-(2x+2) +6=24
4x-2x-2+6=24
Notemos que 2x tiene signo "+", solo que, al ser primer término en la operación dentro del paréntesis, se omite. Obsérvese que es el mismo caso de 4x y 24, solo que estos corresponden a la operación que incluye el paréntesis más no está delimitada por ningún símbolo de agrupación.
Continuamos. Operamos los números que tienen una incógnita y los números sin ella:
2x+4=24
Restamos a ambos miembros 4:
2x+4=24
4=4
___________
2x=20
Y dividimos por 2:
2x=20
2=2
___________
2x/2=20/2
x=10
¡Llegamos hasta aquí!
¡Gracias por leerme!
Espero que el artículo te haya servido. Si tienes algún comentario y/o pregunta al respecto o estás interesado en una clase de matemáticas conmigo, te animo a que me escribas un mensaje.
¡Hasta el próximo encuentro! ¡Chaooooooooo!