Hemos estudiado el conjunto de la operaciones básica con números naturales, sin embargo, no nos hemos detenido a estudiar que implica el signo "=", es decir, "igual". De este signo se desprende de la definición de igualdad.
En este artículo estudiaremos el concepto de igualdad, sus partes, y las operaciones que se pueden realizar con ellas. ¡En efecto! No solo podemos operar entre números sino también igualdades, o sea, aquellas expresiones que tienen ese signo "=" entre sí.
¿Verdad que no lo hacemos a menudo? A trabajar.
Igualdades
¿Qué son?
Podemos definir las igualdades como aquella comparación que señala que dos elementos son iguales.
En efecto, un número no podrá ser igual a otro que no sea el mismo. Sin embargo, su empleo va más allá, ya que a veces se emplean en matemáticas símbolos que son iguales a un número, otras veces puede ser una relación algebraica entre símbolos, es decir, que están multiplicandose, dividiense, sumandose o restandose entre sí.
Entonces, para que podamos escribir que existe una igualdad, procedemos a escribir el signo "=". Lo vemos en estos ejemplos, seguro familiares para nosotros:
2=2
3=3
4=4
Ahora, conocemos que hay variadas formas de escribir un mismo número. Trabajemos el ejemplo de 2=2:
2=1+1
Sabemos que 1+1=2. He aquí otra manera de escribir 2. Veamos otra forma:
2=5-3
La sustracción 5-3 es igual 2. Ahora veamos esta forma:
2=12/6
La división 12/6 es igual a 2. Notemos entonces que hay varios modos de escribir el 2.
Observemos ahora estos ejemplos:
1+1=5-3
Ambas expresiones son iguales 2, de ahí que podamos igualarlas.
Veamos esta otra igualdad:
5-3=12/6
Ambas operaciones son iguales 2. En efecto, podemos escribirlo de diversas formas como con cualquier otro elemento en matemáticas.
Comparamos las tres operaciones realizadas, es decir, 1+1, 5-3, y 12/6:
1+1=12/6=5-3
Es inisual verla escrita así, sin embargo, podemos hacerlo ya que cada una es igual al mismo número, es decir, 2.
¿Y cuáles son las partes de una igualdad?
Tomemos en cuenta uno de los ejemplos empleados:
2=5-3
Observemos que el signo "=" separa los dos números.
Decimos que el lado de izquierda del "=" es el primer miembro; en el ejemplo es que tiene al 2.
Luego, el lado de la derecha, los llamamos segundo miembro; en el ejemplo es el ocupa 5-3.
¿Cómo son las propiedades?
Ya sabemos que escribir 2=2 es una igualdad. Sin embargo, podemos operar con una o más igualdades, así como con los números, es decir, sumando, restando, multiplicando o dividiendo. Anunciamos las propiedades primero y consiguiente demos ejemplos que las respalden:
- Si sumamos miembro a miembro dos igualdades obtenemos otra igualdad.
Observemos los ejemplos:
Leyendo de arriba a abajo:
- Se muestra el primer grupo de igualdades. Vemos a 5=5 y 8=6+2, una operación encima de la otra. Llamemosla primera y segunda fila. La tercera fila, 5+8=5+6+2, representa la suma miembro a miembro.
Siendo más específicos, en la tercera fila, en el primer miembro-al lado izquierdo del signo "="-, está sumando los números del primer miembro de las otras igualdades. Ahora, en su segundo miembro-el lado derecho del signo "="-, ocurre lo mismo solo que en este caso se suma un número que no está operando con otro con otros dos que si están operando.
Demostramos que la tercera fila es una igualdad ya que 5+8=13 y 5+6+2=13, es decir, ambas adiciones son iguales a 13.
- Se muestra el segundo grupo de igualdades. Vemos a 9=4+5, 7+5=12 y 8=6+2, una operación encima de la otra. Llamemosla primera, segunda fila y tercera fila respectivamente. La cuarta fila, 9+7+5+8=4+5+12+6+2, representa la suma miembro a miembro.
En este caso la explicación del ejemplo anterior es la misma, solo que en este caso se están operando tres igualdades para obtener una cuerta.
Demostramos que esta cuarta fila es una igualdad porque 9+7+5+8=29 y 4+5+12+6+2=29, es decir, ambas operaciones son iguales a 29.
Notemos que cuando decimos que se están sumando un número con otros operando, o una operación, a la final estamos hablando de que se está sumando números pues una operación entre números es igual otro número. Este razonamiento se puede aplicar a la hora de que se reste, se multiplique, o se divida.
- Si restamos miembro a miembro dos igualdades obtenemos otra igualdad.
- Tengamos estas igualdades 5=5 y 8=6+2. Restamos la segunda a la primera, pero para esto hagamos lo siguiente:
-Si cambiamos de signo a la segunda igualdad, es decir, si es "+" en la operación pasa a "-", quedará -8=-6-2. Cuando estudiemos la multiplicación veremos el porqué de esto.
-Procediendo a operar miembro a miembro 5=5 con la igualdad resultante del cambio de 8=6+2:
Notemos que a 5 se le resta 8 y a 5 se le resta el 6 y el 2. Veamos que hay una igualdad porque 5-8=-3 y 5-6-2=-3, es decir, ambas operaciones son iguales a -3.
- Tengamos este otro par de igualdades 6=6 y 10=8+2. Leyendo de izquierda a derecha, restemos la primera igualdad de la segunda:
-Observemos que hemos escrito de primero la igualdad que restaba; recordemos que la que se le resta es 10=8+2. Por ello en la igualdad resultante, observamos al 6 restando en ambos miembros, o en otras palabras, teniendo el signo "-".
Como tal la resta de igualdades es una suma, es decir, del primer miembro de un conjunto de igualdades se juntan todos sus elementos con su respectivo signo en el primer miembro de una igualdad resultante. Así mismo ocurre cuando destacamos en ellas el segundo miembro.
- Si multiplicamos miembro a miembros dos igualdades obtenemos otra igualdad.
- Tengamos el siguiente par de igualdades 3=3 y 4=4. Multipliquemos:
Leyendo de arriba a abajo. Notemos que pasarón a multiplicar los números del primer miembro de las dos primeras igualdades a el primer miembro de la última igualdad; así mismo ocurrió con el segundo miembro de ellas.
Demostramos que hay igualdad porque 3.4 es igual a 3.4, es decir, 3.4=3.4.
- Veamos la multiplicación de 12=4.3 y 3.5=15.
Observemos que la idea en la igualdad resultante, leyendo de arriba a abajo, es que se muestre que se están multiplicando los números miembros a miembro.
Vemos que la tercera igualdad es como tal una igualdad, ya que 12.3.5=180 y 4.3.15=180, es decir, ambas operaciones son igual a un mismo número, es decir, 180.
- Veamos la multiplicación de 12=12 y -1=-1.
Vemos que hay igualdad porque 12.-1 es igual a 12.-1. Específicamente, el resultado es igual a -12.
En la propiedad de resta de igualdades, trabajamos con el par de igualdades 5=5 y 8=6+2 y cambiamos el signo a cada número de esta última, es decir, 8=6+2. Como tal, una forma de ver como se hizo para obtenerlo es:
El resultado tanto en el primer miembro como en el segundo miembro es igual a -8, es decir, 8.-1=-8 y (6+2).-1=(8).-1=-8. Se colocó el 6+2 entre paréntesis, es decir, se escribió (6+2) para expresar que hay una adición que está multiplicando.
- Si dividimos miembro a miembro dos igualdades y si la operación es posible otra igualdad.
- Veamos las siguientes igualdades 10=10 y 5=5. Dividamos la primera por la segunda:
Observemos que la idea en la igualdad resultante, leyendo de arriba a abajo, es que se muestre que se están dividiendo los números miembros a miembro.
Vemos que la tercera igualdad es como tal una igualdad, ya que en ambos miembros está 10/5.
Puede ocurrir el caso en donde una de las igualdades es 0=0. En este caso, necesariamente esta igualdad será la que divida más no que la que pase a dividir otra igualdad.
¡Llegamos hasta aquí!
¡Gracias por leerme!
Espero que el artículo te haya servido. Si tienes algún comentario y/o pregunta al respecto o estás interesado en una clase de matemáticas conmigo, te animo a que me escribas un mensaje.
¡Hasta el próximo encuentro! ¡Chaooooooooo!
Fuentes consultadas:
-Navarro, E. (2010). Matemática 7º grado. EDICIONES, E.N.V, C.A.