Estudiamos como operar números naturales en los artículos Adición de números naturales: partes y propiedades, Sustracción de números naturales: partes y propiedades, Multiplicación de números naturales: partes y propiedades y División de números naturales: partes y propiedades.
Ahora, hay operaciones donde es menester efectuar varias sub-operaciones y se torna una tarea complicada discernir con facilidad cuáles son. Para esto nos servimos de los paréntesis, los corchetes y las llaves, específicamente, el caso de la adición.
En este artículo estudiaremos su definición, como usarlos y como operar con ellos.
Adición con paréntesis, corchetes y llaves
¿Qué son?
Son símbolos de agrupación, es decir, aquellos que empleamos para delimitar sub-operaciones que están en la operación. Estos son los símbolos:
-Paréntesis: "( )"
-Corchetes: "[ ]"
-Llaves: "{ }"
Veamos un caso donde hagan falta:
3+((2+3)+(3+2+(5+1))+3)
Estas son las sub-operaciones que se delimitan:
- (2+3)
- (5+1)
- (3+2+(5+1))
- ((2+3)+(3+2+(5+1))+3)
No se observa con claridad cuando un paréntesis comienza (abertura hacia la derecha) y termina (hacia la izquierda). En efecto, discernir cuales son las sub-operaciones delimitadas se nos complica.
Usemos incluyamos otros símbolos:
3+{(2+3)+[3+2+(5+1)]+3}
Concretamente se ve:
- (2+3)
- (5+1)
- [3+2+(5+1)]
- {(2+3)+[3+2+(5+1)]+3}
Se puede visualizar con mayor énfasis que estas son las sub-operaciones delimitadas.
¿Cómo los usamos?
Convenimos emplearlos de la siguiente forma:
-Los paréntesis encierran sumandos.
-Los corchetes encierran a los paréntesis y sumandos.
-Y las llaves a los corchetes, paréntesis, y sumandos.
¿Cómo operamos con ellos?
Por lo general:
- Primero trabajamos la operación de los paréntesis para obtener su resultado y luego quitar dichos símbolos.
- Segundo, si hay corchetes se obtiene el resultado de las operaciones que hay dentro de ellos y se quitan.
- Tercero, y si hay llaves se procede con ellas de la misma manera.
A la acción de quitar los símbolos de agrupación lo llamamos eliminación de símbolo de agrupación.
Veamos unos ejemplos:
- 3+(2+5)+(4-1)+6
En este caso, ya que vemos que solo hay paréntesis obtenemos el resultado de las operaciones dentro:
3+(2+5)+(4-1)+6=3+(7)+(3)+6
Quitamos los paréntesis:
3+(7)+(3)+6=3+7+3+6
Y después obtenemos el valor de la operación:
3+7+3+6=19
Este desarrollo lo podemos escribir así también:
3+(2+5)+(4-1)+6=3+(7)+(3)+6=3+7+3+6=19
- 4+[3+(2+5)]+4+[(7-2)+4]
Observamos que hay paréntesis y corchetes. Por lo tanto, operamos primero los paréntesis:
4+[3+(2+5)]+4+[(7-2)+4]=4+[3+(7)]+4+[(5)+4]
Quitamos los paréntesis y operamos ahora los corchetes:
4+[3+(7)]+4+[(5)+4]=4+[3+7]+4+[5+4]=4+[10]+4+[9]
Quitamos los corchetes y operamos con lo que queda:
4+[10]+4+[9]=4+10+4+9=27
Este desarrollo lo podemos escribir así:
4+[3+(2+5)]+4+[(7-2)+4]=4+[3+7]+4+[5+4]=4+10+4+9=27
Notemos que, en el último paso, al quitar los corchetes, los números que quedaron también los podemos llamar sumandos porque constituyen una adición.
- 3+{2+(5-1)+[(6-2)+3]+4}+(3-2)
Observamos que hay llaves, paréntesis y corchetes. Por lo tanto, operamos primero los paréntesis:
3+{2+(5-1)+[(6-2)+3]+4}+(3-2)=3+{2+(4)+[(4)+3]+4}+(1)
Quitamos los paréntesis y operamos ahora los corchetes:
3+{2+(4)+[(4)+3]+4}+(1)=3+{2+4+[4+3]+4}+1=3+{6+[7]+4}+1
Quitamos los corchetes y operamos las llaves:
3+{6+[7]+4}+1=3+{6+7+4}+1=3+{17}+1
Quitamos las llaves y operamos los sumandos:
3+{17}+1=3+17+1=21
Este desarrollo lo podemos escribir así:
3+{2+(5-1)+[(6-2)+3]+4}+(3-2)=3+{2+4+[4+3]+4}+1=3+{2+4+7+4}+1=3+17+1=21
¿No aparece con el signo "-" las operaciones?
¡Si! Cuando en una operación vemos que hay número separados por signos "+" y "-" la llamamos suma algebraica.
- Veamos un ejemplo:
5+2-3+4-2-4
Para estos casos sumamos los números que tengan un signo "+" por una parte y los números que tengan signo "-" por otra:
-Números con signos "+" son 5,2 y el 4. Sumados dan: 5+2+4=11
-Números con signos "-" son 3,2 y el 4. Sumados dan: 3+2+4=9
Consiguiente restamos los resultados, teniendo como minuendo a los del signo "+", el 11 en este caso, y como sustraendo a los del signo "-", el 9:
11-9=2
- Ahora, uno con paréntesis y corchetes:
10-(4+1)+[-(6-5)+(3+2)]-4
Procedemos a operar primero los paréntesis:
10-(4+1)+[-(6-5)+(3+2)]-4=10-(5)+[-(1)+(5)]-4
Vemos que hay signos "-" que anteceden a algunos paréntesis. Lo que hacemos en este caso es trabajar el resultado con el signo "-" pues es lo que antecede al paréntesis. Así:
10-(5)+[-(1)+(5)]-4=10-5+[-1+5]-4
Ahora vamos con el corchete. En el mismo el 1 está con signo "-" y el 5 con un signo "+". Seguimos la misma regla, es decir, a los de signo "+" le restamos los del signo "-". Entonces:
5-1=4
Por consiguiente, retornando al ejemplo:
10-5+[-1+5]-4=10-5+[4]-4
Quitamos el corchete y nos queda:
10-5+[4]-4=10-5+4-4
Seguimos la misma regla, es decir, a la suma de los números con signo "+" le restamos la suma de los números del signo "-":
-Números con signos "+" son 10 y 4. Sumados: 10+4= 14
-Números con signos "-" son 5 y 4. Sumados: 5+4=9
-El resultado de la operación es:
10-5+4-4=14-9=5
Destaquemos que a cualquier símbolo de agrupación al antecederle un signo "-", el mismo afectara el resultado de la operación dentro de él. Si el resultado estaba con un signo "+" dicho resultado pasará a estar con el signo "-".
- Por último, uno con paréntesis, corchetes y llaves:
8-{[12-(3+5)]-[-(8-2)+(9+1)]}+(4-1)-2
Operamos primero los paréntesis:
8-{[12-(3+5)]-[-(8-2)+(9+1)]}+(4-1)-2=8-{[12-8]-[-6+10]}
Operamos luego los corchetes:
8-{[12-8]-[-6+10]}=8-{4-4}
Por último, las llaves:
8-{4-4}=8
Notemos que dentro del corchete el resultado de la resta da 0, porque 4-4 es 0. Entonces, 0 restado al 8, dará como resultado 8.
¡Llegamos hasta aquí!
¡Gracias por leerme!
Espero que el artículo te haya servido. Si tienes algún comentario y/o pregunta al respecto o estás interesado en una clase de matemáticas conmigo, te animo a que me escribas un mensaje.
¡Hasta el próximo encuentro! ¡Chao!
Fuentes consultadas:
- Navarro, E. (2010). Matemática 7º grado. EDICIONES, E.N.V, C.A.