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Adición con paréntesis, corchetes y llaves

Estudiamos como operar números naturales en los artículos Adición de números naturales: partes y propiedades, Sustracción de números naturales: partes y propiedades, Multiplicación de números naturales: partes y propiedades y División de números naturales: partes y propiedades.

Ahora, hay operaciones donde es menester efectuar varias sub-operaciones y se torna una tarea complicada discernir con facilidad cuáles son. Para esto nos servimos de los paréntesis, los corchetes y las llaves, específicamente, el caso de la adición.

En este artículo estudiaremos su definición, como usarlos y como operar con ellos.

Adición con paréntesis, corchetes y llaves

¿Qué son?

Son símbolos de agrupación, es decir, aquellos que empleamos para delimitar sub-operaciones que están en la operación. Estos son los símbolos:

-Paréntesis: "( )"

-Corchetes: "[ ]"

-Llaves: "{ }"

Veamos un caso donde hagan falta:

3+((2+3)+(3+2+(5+1))+3)

Estas son las sub-operaciones que se delimitan:

  1. (2+3)
  2. (5+1)
  3. (3+2+(5+1))
  4. ((2+3)+(3+2+(5+1))+3)

No se observa con claridad cuando un paréntesis comienza (abertura hacia la derecha) y termina (hacia la izquierda). En efecto, discernir cuales son las sub-operaciones delimitadas se nos complica.

Usemos incluyamos otros símbolos:

3+{(2+3)+[3+2+(5+1)]+3}

Concretamente se ve:

  1. (2+3)
  2. (5+1)
  3. [3+2+(5+1)]
  4. {(2+3)+[3+2+(5+1)]+3}

Se puede visualizar con mayor énfasis que estas son las sub-operaciones delimitadas.

¿Cómo los usamos?

Convenimos emplearlos de la siguiente forma:

-Los paréntesis encierran sumandos.

-Los corchetes encierran a los paréntesis y sumandos.

-Y las llaves a los corchetes, paréntesis, y sumandos.

¿Cómo operamos con ellos?

Por lo general:

  1. Primero trabajamos la operación de los paréntesis para obtener su resultado y luego quitar dichos símbolos.
  2. Segundo, si hay corchetes se obtiene el resultado de las operaciones que hay dentro de ellos y se quitan.
  3. Tercero, y si hay llaves se procede con ellas de la misma manera.

A la acción de quitar los símbolos de agrupación lo llamamos eliminación de símbolo de agrupación.

Veamos unos ejemplos:

  • 3+(2+5)+(4-1)+6

En este caso, ya que vemos que solo hay paréntesis obtenemos el resultado de las operaciones dentro:

3+(2+5)+(4-1)+6=3+(7)+(3)+6

Quitamos los paréntesis:

3+(7)+(3)+6=3+7+3+6

Y después obtenemos el valor de la operación:

3+7+3+6=19

Este desarrollo lo podemos escribir así también:

3+(2+5)+(4-1)+6=3+(7)+(3)+6=3+7+3+6=19

  • 4+[3+(2+5)]+4+[(7-2)+4]

Observamos que hay paréntesis y corchetes. Por lo tanto, operamos primero los paréntesis:

4+[3+(2+5)]+4+[(7-2)+4]=4+[3+(7)]+4+[(5)+4]

Quitamos los paréntesis y operamos ahora los corchetes:

4+[3+(7)]+4+[(5)+4]=4+[3+7]+4+[5+4]=4+[10]+4+[9]

Quitamos los corchetes y operamos con lo que queda:

4+[10]+4+[9]=4+10+4+9=27

Este desarrollo lo podemos escribir así:

4+[3+(2+5)]+4+[(7-2)+4]=4+[3+7]+4+[5+4]=4+10+4+9=27

Notemos que, en el último paso, al quitar los corchetes, los números que quedaron también los podemos llamar sumandos porque constituyen una adición.

  • 3+{2+(5-1)+[(6-2)+3]+4}+(3-2)

Observamos que hay llaves, paréntesis y corchetes. Por lo tanto, operamos primero los paréntesis:

3+{2+(5-1)+[(6-2)+3]+4}+(3-2)=3+{2+(4)+[(4)+3]+4}+(1)

Quitamos los paréntesis y operamos ahora los corchetes:

3+{2+(4)+[(4)+3]+4}+(1)=3+{2+4+[4+3]+4}+1=3+{6+[7]+4}+1

Quitamos los corchetes y operamos las llaves:

3+{6+[7]+4}+1=3+{6+7+4}+1=3+{17}+1

Quitamos las llaves y operamos los sumandos:

3+{17}+1=3+17+1=21

Este desarrollo lo podemos escribir así:

3+{2+(5-1)+[(6-2)+3]+4}+(3-2)=3+{2+4+[4+3]+4}+1=3+{2+4+7+4}+1=3+17+1=21

¿No aparece con el signo "-" las operaciones?

¡Si! Cuando en una operación vemos que hay número separados por signos "+" y "-" la llamamos suma algebraica.

  • Veamos un ejemplo:

5+2-3+4-2-4

Para estos casos sumamos los números que tengan un signo "+" por una parte y los números que tengan signo "-" por otra:

-Números con signos "+" son 5,2 y el 4. Sumados dan: 5+2+4=11

-Números con signos "-" son 3,2 y el 4. Sumados dan: 3+2+4=9

Consiguiente restamos los resultados, teniendo como minuendo a los del signo "+", el 11 en este caso, y como sustraendo a los del signo "-", el 9:

11-9=2

  • Ahora, uno con paréntesis y corchetes:

10-(4+1)+[-(6-5)+(3+2)]-4

Procedemos a operar primero los paréntesis:

10-(4+1)+[-(6-5)+(3+2)]-4=10-(5)+[-(1)+(5)]-4

Vemos que hay signos "-" que anteceden a algunos paréntesis. Lo que hacemos en este caso es trabajar el resultado con el signo "-" pues es lo que antecede al paréntesis. Así:

10-(5)+[-(1)+(5)]-4=10-5+[-1+5]-4

Ahora vamos con el corchete. En el mismo el 1 está con signo "-" y el 5 con un signo "+". Seguimos la misma regla, es decir, a los de signo "+" le restamos los del signo "-". Entonces:

5-1=4

Por consiguiente, retornando al ejemplo:

10-5+[-1+5]-4=10-5+[4]-4

Quitamos el corchete y nos queda:

10-5+[4]-4=10-5+4-4

Seguimos la misma regla, es decir, a la suma de los números con signo "+" le restamos la suma de los números del signo "-":

-Números con signos "+" son 10 y 4. Sumados: 10+4= 14

-Números con signos "-" son 5 y 4. Sumados: 5+4=9

-El resultado de la operación es:

10-5+4-4=14-9=5

Destaquemos que a cualquier símbolo de agrupación al antecederle un signo "-", el mismo afectara el resultado de la operación dentro de él. Si el resultado estaba con un signo "+" dicho resultado pasará a estar con el signo "-".

  • Por último, uno con paréntesis, corchetes y llaves:

8-{[12-(3+5)]-[-(8-2)+(9+1)]}+(4-1)-2

Operamos primero los paréntesis:

8-{[12-(3+5)]-[-(8-2)+(9+1)]}+(4-1)-2=8-{[12-8]-[-6+10]}

Operamos luego los corchetes:

8-{[12-8]-[-6+10]}=8-{4-4}

Por último, las llaves:

8-{4-4}=8

Notemos que dentro del corchete el resultado de la resta da 0, porque 4-4 es 0. Entonces, 0 restado al 8, dará como resultado 8.

¡Llegamos hasta aquí!

¡Gracias por leerme!

Espero que el artículo te haya servido. Si tienes algún comentario y/o pregunta al respecto o estás interesado en una clase de matemáticas conmigo, te animo a que me escribas un mensaje.

¡Hasta el próximo encuentro! ¡Chao!

Fuentes consultadas:

- Navarro, E. (2010). Matemática 7º grado. EDICIONES, E.N.V, C.A.