¿Cómo se pueden aplicar las derivadas parciales en los cálculos vectoriales?

Creo que te refieres a cómo derivar funciones vectoriales multivariable. En ese caso, sólo hay que derivar cada componente de la función vectorial respecto a la variable que se pida, y el resultado es otro vector. Por ejemplo: Tenemos una función vectorial v(x,y) = (2xy, y² , 3lnx) y se piden sus derivadas respecto de x e y: ∂v/∂x = (2y, 0, 3/x) ; ∂v/∂y = (2x, 2y, 0). Para las derivadas segundas o superiores, simplemente se deriva otra vez respecto de la variable indicada: ∂²v/∂xy = ∂ (∂v/∂x) / ∂y = (2, 0, 0) .